🔢 Как научиться решать сложные задачи

Разбираемся, почему вам не дается решение сложных задач, и рекомендуем книги, курсы, игры, методики и приложения, которые помогут понять, полюбить и подтянуть математику.

В этой статье под сложными задачами мы будем иметь в виду задания, которые в школьных и вузовских учебниках отмечают одной (двумя, тремя) звездочками. Для освоения базового курса математики (и поступления на гуманитарную специальность) умение решать задачи со звездочками не требуется. Но если выбранная профессия подразумевает углубленное изучение и постоянное использование математики в работе, надо как можно быстрее разобраться, почему вам не дается решение сложных задач. Обычно причина кроется в чем-то из этого списка:

• Вам мешают стереотипы и предрассудки. Если вам с детства говорили, что для понимания математики нужен особый врожденный дар, а вы – гуманитарий из семьи потомственных гуманитариев, то скорее всего, вы автоматически отказываетесь от попыток решить сложную задачу.
• У вас есть негативный опыт, связанный с математикой. Возможно, как-то раз вас вызвали к доске, а вы не смогли решить задачку, и с тех пор вас охватывает паника при одной мысли о математике. В особо тяжелых случаях такая неприязнь развивается в математическую тревожность.
• У вас есть пробелы в школьных знаниях. Математика – целостная система, в которой все взаимосвязано. Стоит пропустить одну из простых базовых тем, – возникнут проблемы с пониманием более сложных концепций.
• Вы считаете математику скучной, абстрактной, оторванной от повседневности наукой, и думаете, что в реальной жизни достаточно калькулятора и готовых формул. Математика постоянно развивается и применяется повсеместно. В некоторых ИТ-направлениях (геймдев, разработка ИИ, анализ данных) просто нельзя обойтись без отличного знания математики (и умения решать сложные, нетривиальные задачи).
• У вас нетренированное мышление и вы не знакомы с эффективными методиками решения задач. Есть особые методы, которые помогают развить математическое мышление и научиться решать задачи повышенной сложности – обсудим их ниже.

А теперь разберемся с каждой из этих проблем по отдельности.

Стереотипы

Есть два основных стереотипа в отношении математики – генетический и гендерный:

«Математические способности – это врожденный дар, талант. Либо он есть, либо его нет. У тебя точно нет»

Здесь все не так просто: с одной стороны, с завидной регулярностью публикуются результаты исследований, которые доказывают, что математический талант действительно имеет под собой генетическую основу. С другой стороны, талантливые математики подчеркивают, что способности сами по себе, без огромных усилий, никогда не развиваются в гений, а научиться решать задачки со звездочками может любой.

«Мальчики лучше разбираются в математике, чем девочки. Девочкам больше подходят гуманитарные профессии»

На самом деле, исследования TIMSS показали, что в начальной и средней школе мальчики и девочки показывают одинаковые результаты по математике. Разрыв появляется после 9-го класса, когда подростки начинают задумываться о будущей профессии. Девочки подвержены инструментальной мотивации, и по этой причине обычно выбирают социально значимые профессии. А со стороны это выглядит так, как будто они избегают математики и всей STEM-области (Science, Technology, Engineering and Mathematics) – отсюда и стереотип.

Негативный опыт и математическая тревожность

Причин возникновения математической тревожности немало – здесь и предрасположенность к общей тревожности, и давление в школе, и уже упомянутые стереотипы. Очень часто неприязнь к математике возникает из-за негативного опыта в школе. Позитивное отношение к науке помогут вернуть:

1. Лекция «О снятии математической тревожности» Маргариты Буровой (руководитель магистерской программы Master of Data Science на факультете компьютерных наук ВШЭ).

2. Занятия с репетитором, который объясняет все понятно, интересно, и не выставляет оценки.

3. Математические игры и головоломки. Например, «Король математики», Mental Math Master, Threes, Toon Math, Math Games, Math Master, Math Fire, Math Riddles and Puzzles, Number Charm, Brain Game, Tricky Riddles.

4. Увлекательные книги о математике. Таких книжек очень много, есть из чего выбрать. Начать можно с классики:

• «Занимательная алгебра и занимательная геометрия», Яков Перельман
• «Дух числа. Книга под подушку для всех, кто боится математики», Ханс-Магнус Энценсбергер
• «Математические головоломки и развлечения», М. Гарднер

Еще очень пригодятся:

• «Математика для гуманитариев. Живые лекции», Алексей Савватеев
• «Математический аквариум», В.А. Уфнаровский
  
• «Удовольствие от Х», Стивен Строгац
• «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры», Алекс Беллос. Алекс ведет математическую колонку The Guardian – рекомендуем!

Можно разглядеть синусоиду на спине зебры, услышать отголоски теорем Евклида в Декларации о независимости; да что там говорить, даже в сухих отчетах, предшествовавших Первой мировой войне, присутствуют отрицательные числа.

Пробелы в школьных знаниях

Быстрее всего восполнить пробелы поможет репетитор: по характерным для вас трудностям опытный преподаватель сразу же определит, каких именно базовых знаний вам не хватает. Помимо занятий с репетитором, пригодятся книги, курсы и приложения.

Книги

• «Краткий курс школьной математики», В.А. Битнер
• «Элементарная математика», М.И. Сканави
• «Что такое математика?», Р. Курант и Г.Робертс

Бесплатные курсы на Степике

• ЕГЭ по базовой математике
• ЕГЭ по математике: первая часть
• ЕГЭ по математике: уравнения
• ЕГЭ по математике: неравенства
• ЕГЭ по математике: экономическая задача
• ЕГЭ по математике: задача с параметром
• ОГЭ по математике 2023
• Решай как профи | ЕГЭ по математике 2023

Приложения

Photomath – решает любые задачи, достаточно загрузить в приложение фото условия.

Mathway – покажет пошаговое решение, если вы застряли на сложной задаче. Строит графики, решает задачи по матанализу и статистике, отвечает на вопросы.

(Не)скучная математика

«Царица наук» многим кажется сухой, скучной и малоиспользуемой на практике. Избавиться от этого убеждения помогут перечисленные выше математические игры и головоломки, а также замечательные книги, представляющие математику с неожиданно интересной и жизненной стороны.

«Кому нужна математика?», Нелли Литвак и Андрей Райгородский

Эта книга увлекательно и понятно рассказывает о прикладном использовании математики в повседневной жизни для:

• Планирования и составления расписаний.
• Кодирования информации для хранения и передачи по цифровым каналам связи.
• Создания структуры соединения серверов в интернете.
• Балансировки нагрузки в телекоммуникационных сетях.
• Шифрования конфиденциальных сообщений.
• Анализа больших данных.
• Распределения мест в рекламных сетях.

Где расположить склады и сервисные пункты? Как распределить товары по вагонам и грузовикам и какими маршрутами все это отправить? Сколько товара держать на складе и как часто его пополнять? Как составить расписание поездов, самолетов, большого производства и даже спортивных соревнований? Этими вопросами занимается область прикладной математики под названием исследование операций.

«Как не ошибаться», Джордан Элленберг

Автор убедительно показывает, что математика – это не абстрактная академическая наука, а инструмент критического мышления, надстройка для здравого смысла, которая помогает видеть истинную суть любых явлений и событий.

Знание математики — своего рода рентгеновские очки, позволяющие увидеть структуру мира, скрытую под беспорядочной, хаотичной поверхностью. Математика — это наука о том, как не совершать ошибок, а математические формы и методы выковывались на протяжении многих столетий упорного труда и дискуссий.

Эффективные методики решения задач

Автор самой популярной методики решения математических задач – Джордж Пойа (он же Дьёрдь Пойа или Джордж Полиа). Методика изложена в книге «Как решать задачу». Пойя считал, что решение задач — это практическое искусство, такое же, как умение плавать, кататься на лыжах или играть на пианино: всему этому можно научиться, только практикуясь. Если вы захотите научиться плавать, то вынуждены будете зайти в воду, а если вы захотите стать человеком, хорошо решающим задачи, вам надо начать их решать – вот таким образом:

• Определить и понять задачу.
• Разработать план решения.
• Применить план.
• Оглянуться назад и проверить решение.

На первый взгляд, такое краткое описание методики кажется вариацией на тему известного мема про рисование совы, однако в книге каждый из этих шагов разбирается очень подробно: у вас будет список вопросов, которые нужно себе задать, чтобы действительно понять – что в задаче дано, и что и как с этим делать, чтобы прийти к нужному результату. Надо отметить, что подход Пойа пользуется очень большой популярностью не только у коллег-математиков (Дейкстра, к примеру, часто цитировал книги Пойа), но и у программистов – есть даже форк методики, изложенный в книге «Как решать задачу с помощью компьютера».

Еще один суперэффективный подход к решению задач изложен в книге «Математика – это просто 2.0. Думай математически», написанной Джоном Мэйсоном, Леоне Бертон и Кей Стейси. Оригинал книги можно бесплатно прочитать здесь – Thinking Mathematically. Авторы предлагают уникальный многоступенчатый подход, который с небольшими поправками можно применять для решения любых практических, жизненных задач, а не только математических. Значительная часть методики – развитие и тренировка математического мышления. Изложение методики происходит постепенно, по нарастающей, от самых простых примеров ко все более сложным – незаметно для себя читатель вникает во все более и более продвинутые концепции, и под конец книги обнаруживает, что готов к решению тех самых задачек со звездочками.

А какие книги, курсы и приложения помогли вам подтянуть математику? Поделитесь с нами в комментариях!

Хочу быстро освоить математику. Какой курс порекомендуете?

А если вы хотите максимально быстро освоить математическую базу, то приходите на наш курс «Математика для Data Science».

На курсе вас ждет:

• Полугодовая программа от преподавателей МГУ, которая включает в себя все необходимые знания по математике для работы в Data Science.
• Бессрочный доступ ко всем материалам курса.
  
• Развернутая обратная связь по всем домашним заданиям, а также ссылки на полезные дополнительные материалы.
  
• У вас не будет шансов не усвоить какие-то темы курса👌