Математический феномен: формула, которая описывает всё

2
4970
Добавить в избранное

Чем ещё удивит математика? Вот как выглядит формула всего, и вот как это использовать в личных целях. Алгоритм с иллюстрациями.

Математический феномен: формула, которая описывает всё

Феноменальное неравенство

Посмотрите на одно занимательное число. Это классика. Возможно, вам знакомая.

Через минуту поймёте, почему этот цифровой ряд вызывает чертовское любопытство. Он связан с одним фантастическим неравенством.

Формулу – в студию:

Математический феномен: формула, которая описывает всё

где ⌊ ⌋ – пол вещественного числа – округление до целой части в меньшую сторону, а mod — оператор остатка от деления.

Возьмите координатные оси x и y и для каждой точки в плоскости подставьте координаты x и y, тогда эта формула скажет, нужно ли окрашивать позицию. Неравенство показывает, какую часть пространства заполнить цветом.

Если вы построите диаграмму, то получите это:

Математический феномен: формула, которая описывает всё

Разве не поразительно, что график формулы выглядит как изображение её само́й?

Самореферентная формула Таппера правомерно занимает место в списке причудливых вещей математики. Впервые Джефф Таппер опубликовал её в 2001 году на конференции SIGGRAPH, когда демонстрировал собственную разработку – программу для рисования графиков GrafEq.

У внимательных в голове наверняка проскользнул вопрос: что за магическое k по оси y? С x область понятна – от 0 до 106. На самом деле, k – то длинное число. То есть, по оси y мы забрались за облака. Когда абстрагируетесь от верхних и нижних значений и рассмотрите маленькую область от k до k + 17, вы увидите неравенство, по которому создали график.

Но потрясает в формуле Таппера не образование собственного изображения, а построение всего. Пройдитесь вдоль оси y, и увидите, как это неравенство сформирует каждый возможный рисунок из чёрных и белых пикселей размерами 106 на 17. Значит, изображения в рамках такого формата найдёте в определённых местах на графике. Не только формулу Таппера, но и всевозможные другие.

Например, мы отыскали такое значение числа k, при котором в формуле вместо символов остатка от деления появились смайлики:

Математический феномен: формула, которая описывает всё

А также приготовили вариант с Пакманом, поедающим формулу, и приведением:

Математический феномен: формула, которая описывает всё

Формула всего в действии

Настало время узнать, как из желаемой картинки получить заветное число.

В первую очередь возьмите изображение в пиксельном виде формата 106 на 17. Покажем на примере логотипа Библиотеки программиста:

Математический феномен: формула, которая описывает всё

Начинайте с левого нижнего угла и двигайтесь вверх. Если пиксель чёрный, то записывайте 1, в противном случае – 0. Когда подойдёте к концу первого столбца, переходите ко второму. Направление прежнее – снизу вверх.

Математический феномен: формула, которая описывает всё

На рассматриваемой картинке вначале будет масса нулей. В конечном счёте получим такое длинное двоичное число:

Переведите результат в десятичную систему счисления и умножьте на 17. Поздравляем, вы получили значение k.

Для логотипа Библиотеки:

Осталось построить график.

Математический феномен: формула, которая описывает всё

С помощью этой формулы декодируют растровые изображения, зашифрованные в константе k. Так что смело воспроизводите картинки. Чтобы получить изображение, инвертируйте последовательность шагов алгоритма.

Бонус

С хардкором закончили. А что делать, когда нет желания провести выходные за переводом изображения в двоичное число? Используйте готовый инструмент, и эта процедура займёт минуту. Там вы загружаете изображение нужного формата или рисуете по клеточкам онлайн.

Источник

Какие картинки вам захотелось построить с помощью этой формулы?

Интересуетесь математикой?

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать больше интересных материалов:

И не беспокойтесь, мы тоже не любим спам. Отписаться можно в любое время.




Комментариев: 2

  1. Владимир Лавров

    Не делать ссылки, на материал, на который вы ссылаетесь — ой как неприлично.

    1. Исправили 😉

Добавить комментарий