Иллюстративный видеокурс математического анализа: 10 уроков

6
31225
Добавить в избранное

Иллюстративный видеокурс математического анализа через понятную анимацию визуализирует образы интегралов, пределов и производных.

Видеокурс математического анализа

В продолжение серии обзоров иллюстративных видеокурсов по математике, сделанных выпускником Стэнфорда Грантом Сандерсоном, в этой статье дается обзор курса математического анализа. Так же, как и в случае с линейной алгеброй, этот курс не содержит строгих доказательств, но позволяет представить образы, которые обычно сложно представить наглядно при прохождении классического курса математического анализа в институте. Рассмотрение любых моделей, основанных на малых приращениях, полезно иллюстрировать анимацией, а не статичными изображениями. Некоторые идеи, дающиеся обычно в алгебраической терминологии, в этом видеокурсе описываются более наглядно.

Курс состоит из 10 видеоуроков по 15-20 минут каждый. В качестве бонуса мы приложили видеоурок того же автора по преобразованию Фурье, к которому редакция proglib.io подготовила русские субтитры.

1. Введение курса. Основы математического анализа

В вводном видео к иллюстративному курсу по математическом анализу дается обзор десяти уроков, из которых состоит курс, а также рассматривается одна из классических геометрических задач: нахождение выражения для определения площади круга радиуса R. Показывается, как известная из школьного курса геометрии формула S = πR2 может быть выведена из соображений симметричного разбиения круга на множество вложенных друг в друга колец.

Иллюстрируется один из основных подходов математического анализа: сложная проблема может быть представлена как сумма множества малых, легко определяемых значений. Такой подход позволяет, как это подтверждают следующие примеры, определить площадь под графиком любой функции. В заключение даются предварительные соображения об Основной теореме анализа.

2. Парадокс производной

Во втором уроке вводится понятие производной как мгновенного изменения функции относительно ее аргумента. На множестве примеров визуализируется классическое рассмотрение движения автомобиля и его скорости как производной функции пройденного пути.

Рассматривается сложность вопроса мгновенной скорости – ведь для определения скорости необходимы две точки, пусть и расположенные максимально близко по времени. Умаляя разницу между этими точками до бесконечно малой величины, можно найти значение производной, описывающей наклон графика в этой точке по отношению к оси аргумента. Поясняется запись вида ds/dt. Рассматривается парадокс: можно ли считать движущимся объект в нулевой момент времени, относительно которого начинается движение?

3. Формулы производных через геометрические соображения

После предыдущего видео возникает вопрос: как вычислять производные для функций общего вида? У тех же, кто проходил курс математического анализа, может возникнуть вопрос посложнее: почему основное время практических занятий тратится на рассмотрение абстрактных функций вместо той же задачи о вычислении скорости реального объекта.

Полиномиальные, тригонометрические и показательные функции лежат в основе физических моделей, описывающих физический мир. Задача этого видео – дать представление о производных при помощи рассмотрения малых приращений функций x2 и x3 как приращений площадей и объемов.

Результаты рассуждений распространяются на полиномы более высоких степеней, и выводится общая формула определения производной степенной функции. Объясняется, как соотносятся геометрический и алгебраический подход. Геометрический подход позволяет представить аналогичным образом производные функций 1/x, sin(θ).

4. Визуализация дифференцирования сложных функций

В этом видео последовательно иллюстрируются правила взятия производных от суммы и произведения двух функций, а также процедура дифференцирования сложных функций, когда одна функция «вложена» в другую. В качестве примеров складываемых, перемножаемых и вложенных друг в друга функций рассматриваются sin(x) и x2.

5. Производные показательных функций

В пятом видеоуроке иллюстрируется процедура взятия производных от показательных функций вида ax и ex. На примере роста популяции в зависимости от времени, описываемого выражением 2t, показывается, что скорость нарастания популяции пропорциональна самой функции.

Объясняется, почему коэффициент пропорциональности представляет собой натуральный логарифм от основания, и почему производная экспоненты равна самой экспоненте. Для этого достаточно лишь применить известные правила работы с показательными функциями. В заключение видео показывается пара примеров из физики и финансов, описываемых в терминах простейших дифференциальных уравнений, решениями которых являются экспоненциальные функции.

6. Производная функции, заданной неявно

Особо трудным моментом для детального понимания обычно является взятие производных от неявно заданных функций. Иллюстрация начинается с рассмотрения записи выражения линии, описывающей окружность x2 + y2 = 52. В этом случае производная находится обычно несколько механистически и напоминает взятие производной функции нескольких переменных.

Чтобы объяснить используемую процедуру, автор переходит к физическому примеру со скользящей относительно стены наклонной лестницей длиной 5 м. Такой подход позволяет лучше прочувствовать понятие производной для той же функции.

Та же задача решается на примере нахождения производной для sin(x)⋅y2 = x. В конце видео объясняется, как, пользуясь той же методологией выделения dy и dx, доказать, что производная натурального логарифма ln(x) это 1/x.

7. Пределы

Подспудно до этого при описании производных уже было задействовано понятие предела. В этом же видеоуроке гораздо лучше иллюстрируются такие аспекты:

  • формальное определение производной;
  • определение предела в терминах ε и δ;
  • правило Лопиталя.

При описании терминологии ε и δ иллюстрируются причины требований к непрерывности функции и трудности, связанные с функциями, имеющими разрыв. Объясняются сложности взятия производных у функций, подобных sin(x)/x, и разрешения соответствующих неопределенностей.

8. Интегрирование и Основная теорема анализа

Можно ли узнать пройденный машиной путь только по наблюдениям спидометра? Эта задача обратна задаче о производной, обсуждавшейся во втором уроке видеокурса. Случай постоянной скорости становится основой для приближения переменной скорости как множества малых временных интервалов с различными скоростями. В результате вводится понятие интеграла.

Показывается, как интуитивным образом, представляя интеграл как «антипроизводную», можно найти первообразные функций. В конце видео рассказывается о важности учета не только самих площадей, но и их «знака» – того, как интегрируемые площади под функцией расположены относительно оси ординат.

9. Связь между площадью и наклоном

В девятом видеоуроке на примере гармонической функции рассматривается определение среднего значения функции на заданном интервале при помощи интегрирования. Выводится соответствующее выражение. Через площадь и наклон графиков тригонометрических функций показывается, как геометрически соотносятся понятия интеграла и производной. В видео также соотнесены понятия среднего значения функции и арифметического среднего.

10. Предварительные замечания. Производные высших порядков

Перед рассказом о ряде Тейлора необходимо поговорить о производных высших порядков, то есть производных от производных. В этом видео иллюстрируется процесс многократного дифференцирования различных зависимостей. Приводятся принятые обозначения таких дифференциалов. В примере с движением автомобиля вторая производная от дистанции по времени соответствует ускорению автомобиля.

10. Ряд Тейлора

Представление функции при помощи математического ряда степенных функций позволяет найти ее удобную аппроксимацию, ускоряющую вычисления с наперед заданной точностью, определяемой числом слагаемых такого ряда.

Начав с задачи представления гармонического движения маятника при помощи аппроксимации cos(θ) ≈ 1 – 1/2 θ2, автор иллюстрирует, как это решение можно было бы найти через подбор соответствующего полинома.

Рассматривается вопрос точности аппроксимации и то, как она повышается следующими членами ряда. Поясняется причина возникновения факториалов в формуле Тейлора и изменение формулы при разложении функции в ряд в смещенной точке.

Рассматриваются примеры разложений различных функций сложной функции в нескольких точках. Дается геометрическая иллюстрация аппроксимации функций несколькими первыми членами ряда. В завершение видео на примере разложения в ряд натурального логарифма затрагивается понятие круга сходимости (radius of convergence).

Бонус. Преобразование Фурье

В качестве бонуса к представленному видеокурсу мы добавили урок о преобразовании Фурье, которое часто рассматривается в курсе математического анализа в институтах. Это преобразование основано на интегрировании комплексной переменной.

В данном видео дается оригинальная идея описания преобразования Фурье через построение особой математической машины, позволяющей разложить протяженный во времени сигнал по «чистым» одночастотным гармоническим функциям.

Для удобства восприятия сложного материала к этому видео редакция proglib.io подготовила русские субтитры.

Другие материалы по теме:

Интересуетесь математикой?

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать больше интересных материалов:

И не беспокойтесь, мы тоже не любим спам. Отписаться можно в любое время.




Комментариев: 6

  1. Ставлю дикий лайк за 3Blue1Brown!

Добавить комментарий