Иллюстративный видеокурс по линейной алгебре: 11 уроков

5
19199

Видеокурс по линейной алгебре с большим количеством анимаций будет полезен при создании компьютерной графики и решении задач ML.

Видеокурс по линейной алгебре

Эти красочные, прекрасно иллюстрированные видеоуроки в Full HD разрешении, созданные выпускником Стэнфорда Грантом Сандерсоном, будут полезны всем, кто проходил или проходит курс по линейной алгебре, но не до конца ощутил, зачем это все нужно и как работает.

Уроки идут в порядке, предполагающем их последовательный просмотр – каждое следующее видео использует знания и иллюстрации из предыдущих. В этих уроках вы не найдете расчетов примеров из задачников по линейной алгебре и строгого доказательства теорем, однако визуализируете основные концепции линейной алгебры, действия с векторами и матрицами. Все видео имеют английские авторские субтитры, при этом первые пять также содержат их перевод на русский язык.

Введение в видеокурс о линейной алгебре

Задача этого краткого курса из 11 уроков – уложить в голове всю образную сторону вопросов, лежащих в основании линейной алгебры при помощи видео с анимацией. Знания в линейной алгебре важны для понимания многих технических дисциплин: computer science, статистики, анализа данных, физики, экономики и т. д.

Однако студенты, изучившие курс линейной алгебры и механически научившиеся массе операций, таких как матричное умножение, нахождение определителя и собственных чисел, обычно не представляют зачем на практике нужны эти инструменты. Курс поможет прочувствовать линейную алгебру на интуитивно понятном геометрическом уровне. Визуальные образы позволят пропустить через себя основные концепции линейной алгебры. Вычисления же всегда можно доверить компьютеру.

1. Что мы подразумеваем под векторами?

В основе любого курса по линейной алгебре лежит понятие о векторе. В первом уроке описываются три представления вектора: с точки зрения студента-физика, студента-программиста и математика. Поясняются понятие вектора в привязке к системе координат и запись в виде столбца чисел. Вводятся операции сложения векторов и умножения на скаляр: как геометрически, так и численно. Даются примеры использования операций над векторами в анализе данных и программировании компьютерной графики.

2. Линейные комбинации, линейная оболочка и базисные вектора

Во втором уроке вводится понятие базиса и базисных векторов i и j, а также линейной оболочки как множества линейных комбинаций векторов в двухмерном и трехмерном пространствах. Иллюстрируется представление векторов как точек, в которых расположены концы векторов, исходящих из центра системы координат. Вводятся понятия линейно зависимых и линейно независимых векторов.

3. Линейные преобразования и матрицы

В третьем уроке видеокурса по линейной алгебре показывается геометрическая интерпретация линейных преобразований (отображений), являющихся наиболее простыми из всех нетривиальных преобразований. Начало координат остается на своем месте, а параллельные и равноудаленные прямые линии сохраняют эти свойства при преобразовании. Через линейные отображения базисных векторов естественным образом можно ввести понятие матрицы.

В качестве примеров автором находятся матрицы для поворота вектора на 90° против часовой стрелки и наклона вектора. Иллюстрируется также случай, соответствующий линейно зависимым базисным векторам, когда двумерное пространство вырождается в линию.

4. Перемножение матриц

Итак, умножение матрицы на вектор это фактически линейное преобразование вектора. Но что, если к вектору применяется несколько преобразований? Например, в компьютерной графике один за другим кадры сменяют друг друга, и одно изображение преобразуется в следующее. Такое отображение называют композицией преобразований. Как любое преобразование, оно может быть описано матрицей.

Фактически оно является произведением матриц соответствующих линейных отображений. В уроке иллюстрируется как сама операция умножения матриц, так и представление этой операции через последовательные преобразования базисных векторов. Показывается, почему важен порядок умножения одной матрицы на другую.

4. Дополнение. Трехмерные линейные преобразования

В этом видео линейные преобразования на плоскости расширяются до случая объемных отображений. Для этого используются уже три базисных вектора, а матрицы линейных преобразований имеют размерность 3х3. Перемножение таких матриц ничем не отличается от перемножения матриц 2х2.

5. Определитель матрицы, векторное пространство столбцов, нулевое пространство

В предыдущих уроках вы могли заметить, что одни преобразования в линейной алгебре растягивают пространство, а другие сжимают. Интересно определить число, которое показывает как меняется площадь или объем какой-либо фигуры при таких преобразованиях. В видео демонстрируются линейные преобразования различных фигур и соответствующее изменение их площади.

Параметр этого изменения называют определителем (детерминантом). Показывается, почему равенство определителя нулю соответствует уменьшению размерности пространства, а отрицательное значение – изменению ориентации пространства. Из геометрических соображений объясняется формула нахождения определителя.

6. Обратные матрицы, размерность пространства

В начале видео описывается линейная система уравнений и ее представление через матрицу и два вектора в виде Ax = v, в котором мы знаем матрицу A и вектор v. В геометрическом ключе, ища x, мы ищем вектор, который в результате линейного преобразования A совпадет с вектором v.

Такую задачу можно рассмотреть и в обратном ключе: x это тот вектор, в который преобразуется вектор v в результате преобразования, обратного A. Соответствующее отображение обозначают A-1. Нахождение такой обратной матрицы позволяет решить первое уравнение в виде x = A-1 v.

Урок содержит множество анимаций, иллюстрирующих эту концепцию. Описываются случаи ненулевого и нулевого определителей линейного преобразования. Вводится понятие ранга матрицы – количества измерений пространства, в которое переводит вектор линейное отображение.

6. Дополнение. Прямоугольные матрицы для линейных преобразований между пространствами разной размерности

Аналогично тому, как в последних видео при помощи квадратных матриц соответствующей размерности было рассмотрено преобразование двумерных векторов в двумерные и трехмерных в трехмерные, возможно и преобразование размерности пространства. В этом видео иллюстрируется как соотносятся размерности таких прямоугольных матриц и пространств, между которыми происходит линейное отображение векторов.

7. Скалярное произведение

В этом видео дается алгебраическое и геометрическое определения скалярного произведения. Геометрическая интерпретация иллюстрирует тот факт, что знак скалярного произведения указывает на отношение направлений двух векторов. При этом, как подтверждают рассуждения, порядок умножения не влияет на результат скалярного произведения. Показывается, что проекции вектора на различные оси есть ничто иное, как скалярные произведения вектора с базисными векторами этих осей. Объясняется, почему скалярное произведение векторов идентично произведению матрицы-строки на матрицу-столбец.

8. Векторное произведение

Геометрический смысл векторного произведения двух векторов – вектор с длиной, равной площади параллелограмма между этими векторами. Направление вектора зависит от ориентации пространства. Соответственно при изменении порядка множителей меняется знак векторного произведения. Таким образом, понятие векторного произведения тесно связано с определением детерминанта.

В начале этого видео для лучшего понимания автор намеренно упрощает картину, усложняя ее по мере рассказа. Показывается как облегчается запись векторного произведения, если воспринимать его как определитель особой матрицы, состоящей из базисных векторов и координат перемножаемых векторов.

8. Продолжение. Векторное произведение в свете линейных преобразований

Отталкиваясь от последней идеи предыдущего видео и нескольких предшествовавших уроков, автор раскрывает идею векторного произведения трех векторов. Показывается связь между векторным и скалярными произведениями в трехмерном пространстве, а также связь между геометрическим и алгебраическим представлением этих операций.

9. Переход к новому базису

Стандартно координаты вектора рассматриваются как скалярные числа, описывающие какое количество каждого из базисных векторов нужно взять, чтобы в сумме получить вектор с такими координатами. В этом видеоуроке показано, что при выполнении определенных условий базис может быть выбран различным образом. Базисные вектора лишь задают сетку пространства.

Урок показывает как преобразовать координаты одного базиса к координатам другого при помощи линейных преобразований в виде матриц, состоящих из базисных векторов и обратных матриц для обратного преобразования. В заключительной части на примере поворота на 90° против часовой стрелки иллюстрируется как изменяются в терминах другого базиса линейные преобразования. В результате объясняется, что означает характерное перемножение матриц вида A-1 MA.

10. Собственные векторы и собственные числа

Собственные векторы и числа представляют одну из наименее интуитивно понятных тем в линейной алгебре. Однако в геометрическом представлении это просто векторы, которые не отклоняются от своего направления в результате соответствующего им линейного преобразования – векторы растягиваются или сжимаются, но не поворачиваются вокруг начала координат.

В этом и заключается смысл известного выражения Av = λv – линейное преобразование заменяется на число, называемое собственным. Фактически собственные векторы и числа представляют другой способ рассмотрения линейного преобразования.

В уроке также даются определения диагональной и единичной матриц. Показывается логика нахождения собственных чисел и векторов через нулевой определитель. Иллюстрируется, в каких случаях возможны два, один, ноль или бесконечное количество собственных векторов.

В заключении видео описываются особые свойства диагональных матриц и построение нового базиса на собственных векторах. Последняя операция часто применяется в теории машинного обучения для диагонализации матриц. В конце видео дается небольшое упражнение для закрепления материала.

11. Абстрактные векторные пространства

В заключительном видео курса по линейной алгебре автор возвращается к вопросу первого урока – что представляют собой векторы в самом абстрактном смысле?

Функции и линейные операции над функциями можно рассматривать в векторном ключе. Любые операторы, для которых выполняются свойства аддитивности и мультипликативности, можно рассматривать как линейные преобразования. При этом вместо базисных векторов можно использовать базисные функции.

В уроке эта идея иллюстрируется на примере записи полинома, состоящего из любого числа слагаемых, в виде вектора. Показывается как операция взятия производной может быть реализована при помощи матричного оператора, действующего на такой вектор.

Переводя концепции из других областей математического знания (различных векторных пространств) на язык линейной алгебры и составив соответствующие уравнения, рассмотренные в курсе свойства векторов и линейных отображений можно обобщать на другие области знания.

Другие материалы по теме:

Интересуетесь математикой?

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать больше интересных материалов:

И не беспокойтесь, мы тоже не любим спам. Отписаться можно в любое время.




5 Комментарии

  1. Очень полезная подборка, большое спасибо вам. Как будто глаза открыли на многие вещи, которые знал только, как на практике применять.

Оставьте комментарий