9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Совместно с командой доцента ВМК МГУ Алексея Никитина в наглядных иллюстрациях рассматриваем дифференцируемость – важное понятие курса мат. анализа.
9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Что такое дифференцируемость?

Однажды восприняв теорию эволюции, вы начинаете видеть природу с позиций конкуренции и выживания. Вы понимаете, почему микробы становятся резистентными к лекарственным препаратам (выживание наиболее приспособленных). Или, например, почему нас тянет к сладкой и жирной пище (поощрение природой потребления высококалорийных продуктов на случай дефицита).

Аналогичным образом изучение математического анализа подобно просветлению. В школьном курсе мы изучаем приведенные ниже формулы в различных разделах геометрии, получаем их как данность. Но разве они не связаны каким-то образом? Математический анализ показывает, что одно следует из другого. Сегодня мы будем двигаться относительно приведенного изображения справа налево. Как бы расщепляя природу объектов, подменяя их более простыми сущностями, дифференцируя.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Понятие «дифференцируемость» лежит в основании математического анализа. Изначально этот курс так и назывался: интегральное и дифференциальное исчисление. Что подразумевают математики, когда говорят, что функция дифференцируема в точке?

В учебниках по математическому анализу даётся следующее определение (не пугайтесь, далее мы будем излагать мысли более простым языком). Функция f дифференцируема в точке x, если её приращение в этой точке представимо в виде:

Здесь A – постоянная, не зависящая от приращения аргумента Δx. Обозначение

соответствует бесконечно малой функция более высокого порядка, чем Δx.

Далее в учебниках доказывается, что для дифференцируемости функции f в точке x необходимо и достаточно существование в этой точке предела.

который называется производной функции f   в точке x

Потом обычно устанавливаются правила дифференцирования, арифметические свойства, доказываются основные теоремы дифференциального исчисления и т.п.

Однако за этим нагромождением нередко пропадает основная идея понятия дифференцируемости. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x и вычислимо значение f(x+ Δx), то ее можно представить в виде линейной функции y = AΔx + B, с "хорошей степенью точности".

Перейдем к примерам

Рассмотрим примеры различных функций. Исходя из обозначенной главной идеи, будем задаваться при рассмотрении каждой зависимости вопросом: можно ли представить исследуемую функцию f(x) в виде прямой линии вблизи точек x? Обсудим, что именно мы под этим подразумеваем, на ряде конкретных примеров.

Синусоидальная функция

Начнем с простой степенной функции – синусоидальная функция f(x) = sin*x.

Здесь и далее на анимациях сверху изображается график исследуемой функции на заданном отрезке (сплошная линия), а также хорда (оранжевый пунктир), соединяющая точки зависимости, соответствующие концам выбранного числового отрезка.

Одновременно снизу строится функция модуля разности между исходной функцией и описывающей хорду линейной зависимостью.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Синусоидальная функция дифференцируема на всей числовой прямой. На gif-изображении ниже можно видеть, что после нескольких приближений к точке x=0 график функции сливается с хордой, превращаясь в прямую линию. Соответствующая разность с каждой итерацией на всем выбранном отрезке становится все ближе к нулю. Эта ситуация соответствует устремлению приращения к нулю.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Модуль гармонической функции

Существует бесконечное число примеров, когда подобного приближения указанной разности к нулю представить нельзя. То есть нельзя говорить и о дифференцируемости функции.

Возьмем, например, функцию модуля гармонической функции f(x) = |sinx|. Легко доказать, что эта функция не дифференцируема во всех точках, в которых значение синуса обращается в ноль.

Пусть x = 0. На анимации ниже заметно, что какой бы малый отрезок вокруг этой точки мы ни брали, рассматриваемая разность не устремляется к нулю.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Композиции степенных и гармонических функций

Указанный подход позволяет визуализировать и более сложные примеры композиций нескольких функций.

Рассмотрим две родственные функции:

и

Первая функция дифференцируема при x=0, вторая – нет. Это хорошо видно на анимациях ниже.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции
9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Обсудим теперь поведение подобных функций с немного другой точки зрения. Для этого рассмотрим функцию

, домноженную на степенные функции с различным показателем.

Простейший вариант –

Эта функция имеет разрыв в x=0. Проиллюстрируем ситуацию точкой, движущейся по графику данной функции.

При приближении к началу координат рассматриваемая точка начинает скакать и дёргаться, то есть не стремится к какому-то определенному значению. Функция 

терпит в x=0 разрыв.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Следующая функция 

уже непрерывна в нуле, но, как было понятно из вышеприведенной анимации, она не дифференцируема в этой точке.

Проиллюстрируем это, нарисовав хорду. Угловой коэффициент этой хорды сильно осциллирует при подходе движущейся точки к началу координат. Отсюда видно, что функция не является дифференцируемой в точке x=0

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Рассмотрим далее функцию:

Угловой коэффициент хорды стабилизируется при подходе к 0, но касательная беспорядочно меняет своё положение (постоянно меняется её угловой коэффициент). Это происходит из-за того, что функция

не является непрерывно дифференцируемой, т.е. её производная терпит разрыв в точке x=0.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

В заключение рассмотрим функцию:

Эта функция непрерывно дифференцируема в точке x=0. Изобразим на графике этой функции движущуюся точку, хорду и касательную. На нижеприведённой анимации видно, что здесь стабилизируется и хорда, и касательная.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Заключение

Таким образом, на наглядных примерах гармонических, степенных функций и их композиций мы рассмотрели природу дифференцируемости различных числовых функций. При этом мы опирались на на стандартные подходы рассмотрения взятия производной в окрестностях точек различного вида, а на «практическом» подходе, при котором производная решает вопрос замены оригинальной функции ее упрощенным линейным представлением.

Выражаем большую признательность за работу Алексею Никитину, Матвею Грицаеву и Алексею Карпову

Другие материалы по теме

  1. 9 гифок, наглядно иллюстрирующих числовые последовательности
  2. Математика для программиста: советы, разделы, литература
  3. Математика для программистов: 7 крутых YouTube-каналов
  4. В уме и на пальцах: 7 простых математических трюков
  5. Иллюстративный курс по математическому анализу

МЕРОПРИЯТИЯ

Комментарии

ВАКАНСИИ

Добавить вакансию
PHP developer
Санкт-Петербург, от 140000 RUB до 350000 RUB
Chief technical officer
Москва, по итогам собеседования

ЛУЧШИЕ СТАТЬИ ПО ТЕМЕ