Пожаловаться

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

17 сентября 2018 в 19:00
15365
Пожаловаться

Совместно с командой доцента ВМК МГУ Алексея Никитина в наглядных иллюстрациях рассматриваем дифференцируемость – важное понятие курса мат. анализа.

Что такое дифференцируемость?

Однажды восприняв теорию эволюции, вы начинаете видеть природу с позиций конкуренции и выживания. Вы понимаете, почему микробы становятся резистентными к лекарственным препаратам (выживание наиболее приспособленных). Или, например, почему нас тянет к сладкой и жирной пище (поощрение природой потребления высококалорийных продуктов на случай дефицита).

Аналогичным образом изучение математического анализа подобно просветлению. В школьном курсе мы изучаем приведенные ниже формулы в различных разделах геометрии, получаем их как данность. Но разве они не связаны каким-то образом? Математический анализ показывает, что одно следует из другого. Сегодня мы будем двигаться относительно приведенного изображения справа налево. Как бы расщепляя природу объектов, подменяя их более простыми сущностями, дифференцируя.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Понятие «дифференцируемость» лежит в основании математического анализа. Изначально этот курс так и назывался: интегральное и дифференциальное исчисление. Что подразумевают математики, когда говорят, что функция дифференцируема в точке?

В учебниках по математическому анализу даётся следующее определение (не пугайтесь, далее мы будем излагать мысли более простым языком). Функция [latex]f[/latex] дифференцируема в точке [latex]x[/latex], если её приращение в этой точке представимо в виде:

[latex display="true"] \Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x) =[/latex]

[latex display="true"]= A \, \Delta x + \overline{o}(\Delta x), \, \Delta x \to 0. [/latex]

Здесь [latex]A[/latex] – постоянная, не зависящая от приращения аргумента [latex]\Delta x[/latex]. Обозначение [latex]\overline{o}(\Delta x)[/latex] соответствует бесконечно малой функция более высокого порядка, чем [latex]\Delta x[/latex].

Далее в учебниках доказывается, что для дифференцируемости функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x[/latex] необходимо и достаточно существование в этой точке предела

[latex display="true"]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x},[/latex]

который называется производной функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x[/latex].

Потом обычно устанавливаются правила дифференцирования, арифметические свойства, доказываются основные теоремы дифференциального исчисления и т.п.

Однако за этим нагромождением нередко пропадает основная идея понятия дифференцируемости. Если функция [latex]y = f(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x[/latex] и вычислимо значение [latex]f(x+\Delta x)[/latex], то ее можно представить в виде линейной функции [latex]y = A \, \Delta x + B[/latex], с <<хорошей степенью точности>>.

Перейдем к примерам

Рассмотрим примеры различных функций. Исходя из обозначенной главной идеи, будем задаваться при рассмотрении каждой зависимости вопросом: можно ли представить исследуемую функцию [latex]f(x)[/latex] в виде прямой линии вблизи точек [latex]x[/latex]? Обсудим, что именно мы под этим подразумеваем, на ряде конкретных примеров.

Синусоидальная функция

Начнем с простой степенной функции – синусоидальная функция [latex]f(x) = \sin{x}[/latex].

Здесь и далее на анимациях сверху изображается график исследуемой функции на заданном отрезке (сплошная линия), а также хорда (оранжевый пунктир), соединяющая точки зависимости, соответствующие концам выбранного числового отрезка.

Одновременно снизу строится функция модуля разности между исходной функцией и описывающей хорду линейной зависимостью.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Синусоидальная функция дифференцируема на всей числовой прямой. На gif-изображении ниже можно видеть, что после нескольких приближений к точке [latex]x=0[/latex] график функции сливается с хордой, превращаясь в прямую линию. Соответствующая разность с каждой итерацией на всем выбранном отрезке становится все ближе к нулю. Эта ситуация соответствует устремлению приращения к нулю.
9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Модуль гармонической функции

Существует бесконечное число примеров, когда подобного приближения указанной разности к нулю представить нельзя. То есть нельзя говорить и о дифференцируемости функции.

Возьмем, например, функцию модуля гармонической функции [latex]f(x) = |\sin{x}|[/latex]. Легко доказать, что эта функция не дифференцируема во всех точках, в которых значение синуса обращается в ноль.

Пусть [latex]x = 0[/latex]. На анимации ниже заметно, что какой бы малый отрезок вокруг этой точки мы ни брали, рассматриваемая разность не устремляется к нулю.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Композиции степенных и гармонических функций

Указанный подход позволяет визуализировать и более сложные примеры композиций нескольких функций.

Рассмотрим две родственные функции [latex]f(x) = x^2 \sin{\frac1x}[/latex] и [latex]f(x) = x \sin{\frac1x}[/latex]. Первая функция дифференцируема при [latex]x=0[/latex], вторая – нет. Это хорошо видно на анимациях ниже.

[latex]\qquad f(x) = x \sin{\frac1x}[/latex]

[latex]\qquad f(x) = x^2 \sin{\frac1x}[/latex]

Обсудим теперь поведение подобных функций с немного другой точки зрения. Для этого рассмотрим функцию [latex]\sin{\frac1x}[/latex], домноженную на степенные функции с различным показателем.

Простейший вариант – [latex]f(x) = 1 \cdot \sin{\frac1x}[/latex]. Эта функция имеет разрыв в [latex]x=0[/latex]. Проиллюстрируем ситуацию точкой, движущейся по графику данной функции.

При приближении к началу координат рассматриваемая точка начинает скакать и дёргаться, то есть не стремится к какому-то определенному значению. Функция [latex]f(x) = \sin{\frac1x}[/latex] терпит в [latex]x=0[/latex] разрыв.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Следующая функция [latex]f(x) = x \cdot \sin{\frac1x}[/latex] уже непрерывна в нуле, но, как было понятно из вышеприведенной анимации, она не дифференцируема в этой точке.

Проиллюстрируем это, нарисовав хорду. Угловой коэффициент этой хорды сильно осциллирует при подходе движущейся точки к началу координат. Отсюда видно, что функция не является дифференцируемой в точке [latex]x=0[/latex].

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Рассмотрим далее функцию [latex]x^2 \sin{\frac1x}[/latex]. Угловой коэффициент хорды стабилизируется при подходе к 0, но касательная беспорядочно меняет своё положение (постоянно меняется её угловой коэффициент). Это происходит из-за того, что функция [latex]x^2 \sin{\frac1x}[/latex] не является непрерывно дифференцируемой, т.е. её производная терпит разрыв в точке [latex]x=0[/latex].

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

В заключение рассмотрим функцию [latex]x^3 \cdot sin{\frac1x}[/latex]. Эта функция непрерывно дифференцируема в точке [latex]x=0[/latex]. Изобразим на графике этой функции движущуюся точку, хорду и касательную. На нижеприведённой анимации видно, что здесь стабилизируется и хорда, и касательная.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Заключение

Таким образом, на наглядных примерах гармонических, степенных функций и их композиций мы рассмотрели природу дифференцируемости различных числовых функций. При этом мы опирались на на стандартные подходы рассмотрения взятия производной в окрестностях точек различного вида, а на «практическом» подходе, при котором производная решает вопрос замены оригинальной функции ее упрощенным линейным представлением.

Выражаем большую признательность за работу Алексею Никитину, Матвею Грицаеву и Алексею Карпову

Другие материалы по теме

15365

Комментарии

Рекомендуем

BUG!