9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

3
9464
Добавить в избранное

Совместно с командой доцента ВМК МГУ Алексея Никитина в наглядных иллюстрациях рассматриваем дифференцируемость – важное понятие курса мат. анализа.

Что такое дифференцируемость?

Однажды восприняв теорию эволюции, вы начинаете видеть природу с позиций конкуренции и выживания. Вы понимаете, почему микробы становятся резистентными к лекарственным препаратам (выживание наиболее приспособленных). Или, например, почему нас тянет к сладкой и жирной пище (поощрение природой потребления высококалорийных продуктов на случай дефицита).

Аналогичным образом изучение математического анализа подобно просветлению. В школьном курсе мы изучаем приведенные ниже формулы в различных разделах геометрии, получаем их как данность. Но разве они не связаны каким-то образом? Математический анализ показывает, что одно следует из другого. Сегодня мы будем двигаться относительно приведенного изображения справа налево. Как бы расщепляя природу объектов, подменяя их более простыми сущностями, дифференцируя.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Понятие «дифференцируемость» лежит в основании математического анализа. Изначально этот курс так и назывался: интегральное и дифференциальное исчисление. Что подразумевают математики, когда говорят, что функция дифференцируема в точке?

В учебниках по математическому анализу даётся следующее определение (не пугайтесь, далее мы будем излагать мысли более простым языком). Функция f дифференцируема в точке x, если её приращение в этой точке представимо в виде:

\Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x) = = A \, \Delta x + \overline{o}(\Delta x), \, \Delta x \to 0.

Здесь A – постоянная, не зависящая от приращения аргумента \Delta x. Обозначение \overline{o}(\Delta x) соответствует бесконечно малой функция более высокого порядка, чем \Delta x.

Далее в учебниках доказывается, что для дифференцируемости функции f в точке x необходимо и достаточно существование в этой точке предела

\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x},

который называется производной функции f в точке x.

Потом обычно устанавливаются правила дифференцирования, арифметические свойства, доказываются основные теоремы дифференциального исчисления и т.п.

Однако за этим нагромождением нередко пропадает основная идея понятия дифференцируемости. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке x и вычислимо значение f(x+\Delta x), то ее можно представить в виде линейной функции y = A \, \Delta x + B, с <<хорошей степенью точности>>.

Перейдем к примерам

Рассмотрим примеры различных функций. Исходя из обозначенной главной идеи, будем задаваться при рассмотрении каждой зависимости вопросом: можно ли представить исследуемую функцию f(x) в виде прямой линии вблизи точек x? Обсудим, что именно мы под этим подразумеваем, на ряде конкретных примеров.

Синусоидальная функция

Начнем с простой степенной функции – синусоидальная функция f(x) = \sin{x}.

Здесь и далее на анимациях сверху изображается график исследуемой функции на заданном отрезке (сплошная линия), а также хорда (оранжевый пунктир), соединяющая точки зависимости, соответствующие концам выбранного числового отрезка.

Одновременно снизу строится функция модуля разности между исходной функцией и описывающей хорду линейной зависимостью.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Синусоидальная функция дифференцируема на всей числовой прямой. На gif-изображении ниже можно видеть, что после нескольких приближений к точке x=0 график функции сливается с хордой, превращаясь в прямую линию. Соответствующая разность с каждой итерацией на всем выбранном отрезке становится все ближе к нулю. Эта ситуация соответствует устремлению приращения к нулю.
9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Модуль гармонической функции

Существует бесконечное число примеров, когда подобного приближения указанной разности к нулю представить нельзя. То есть нельзя говорить и о дифференцируемости функции.

Возьмем, например, функцию модуля гармонической функции f(x) = |\sin{x}|. Легко доказать, что эта функция не дифференцируема во всех точках, в которых значение синуса обращается в ноль.

Пусть x = 0. На анимации ниже заметно, что какой бы малый отрезок вокруг этой точки мы ни брали, рассматриваемая разность не устремляется к нулю.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Композиции степенных и гармонических функций

Указанный подход позволяет визуализировать и более сложные примеры композиций нескольких функций.

Рассмотрим две родственные функции f(x) = x^2 \sin{\frac1x} и f(x) = x \sin{\frac1x}. Первая функция дифференцируема при x=0, вторая – нет. Это хорошо видно на анимациях ниже.

\qquad f(x) = x \sin{\frac1x}

\qquad f(x) = x^2 \sin{\frac1x}

Обсудим теперь поведение подобных функций с немного другой точки зрения. Для этого рассмотрим функцию \sin{\frac1x}, домноженную на степенные функции с различным показателем.

Простейший вариант – f(x) = 1 \cdot \sin{\frac1x}. Эта функция имеет разрыв в x=0. Проиллюстрируем ситуацию точкой, движущейся по графику данной функции.

При приближении к началу координат рассматриваемая точка начинает скакать и дёргаться, то есть не стремится к какому-то определенному значению. Функция f(x) = \sin{\frac1x} терпит в x=0 разрыв.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Следующая функция f(x) = x \cdot \sin{\frac1x} уже непрерывна в нуле, но, как было понятно из вышеприведенной анимации, она не дифференцируема в этой точке.

Проиллюстрируем это, нарисовав хорду. Угловой коэффициент этой хорды сильно осциллирует при подходе движущейся точки к началу координат. Отсюда видно, что функция не является дифференцируемой в точке x=0.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Рассмотрим далее функцию x^2 \sin{\frac1x}. Угловой коэффициент хорды стабилизируется при подходе к 0, но касательная беспорядочно меняет своё положение (постоянно меняется её угловой коэффициент). Это происходит из-за того, что функция x^2 \sin{\frac1x} не является непрерывно дифференцируемой, т.е. её производная терпит разрыв в точке x=0.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

В заключение рассмотрим функцию x^3 \cdot sin{\frac1x}. Эта функция непрерывно дифференцируема в точке x=0. Изобразим на графике этой функции движущуюся точку, хорду и касательную. На нижеприведённой анимации видно, что здесь стабилизируется и хорда, и касательная.

9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

Заключение

Таким образом, на наглядных примерах гармонических, степенных функций и их композиций мы рассмотрели природу дифференцируемости различных числовых функций. При этом мы опирались на на стандартные подходы рассмотрения взятия производной в окрестностях точек различного вида, а на «практическом» подходе, при котором производная решает вопрос замены оригинальной функции ее упрощенным линейным представлением.

Выражаем большую признательность за работу Алексею Никитину, Матвею Грицаеву и Алексею Карпову

Другие материалы по теме

Интересуетесь математикой?

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать больше интересных материалов:

И не беспокойтесь, мы тоже не любим спам. Отписаться можно в любое время.




3 Комментарии

  1. Уважаемый автор, не могу согласиться с фразой: «В школьном курсе мы изучаем приведенные ниже формулы в различных разделах геометрии, получаем их как данность. »
    Вернее, могу и согласиться, отметив, что лично я в школьном курсе геометрии не получал никаких формул, выдававшихся без выведения и доказательства. Там и без матанализа все отлично выводилось, в том числе, и площади, и объемы.

    • Здравствуйте, коллега!

      Вы задаёте вопрос не по моему тексту, но позволю себе высказаться. Геометрические формулы для площадей и объёмов очень непросто (а в целом и невозможно) доказать без использования понятия предельного перехода и интегрирования. Эти вопросы в школе практически не рассматриваются в полном объёме. Поэтому автор текста тут прав. Хотя, конечно, данная фраза может вызвать дискуссию.

    • Согласен с вашим замечанием относительно строгости формулировки. Однако я сам сталкивался с тем, что первокурсники не могут воспроизвести вывод этих выражений при помощи начал анализ. То есть это лишь отражение личного опыта, что формулы воспринимаются многими студентами как заученные, а не выведенные.

Оставьте комментарий