Задача о часах с одинаковыми стрелками

На механических часах минутная и часовая стрелки сделаны одинаковыми. При скольких положения стрелок нельзя точно узнать время?

Эта задача – седьмой эпизод нашего сериала головоломок. После описания задачи идёт ответ на предыдущую головоломку о прогуливающихся джентльменах. Головоломки публикуются по субботам и средам.

Задача о часах с одинаковыми стрелками

Безумный часовщик установил на циферблате механических часов одинаковые по форме часовую и минитную стрелки. Сколько существует положений стрелок, по которым невозможно определить время? Положение каждой стрелки можно определить точно, но следить за тем, как стрелки двигаются и как устроен механизм, нельзя.

Решение – в следущей задаче.

Решение задачи о прогуливающихся джентльменах

Будем называть джентльменов А и В – по обозначениям концов аллеи, из которых они вышли. Гипотетическая возможность не встретиться и разминуться скрывается в наличии боковых аллей. Можно предположить, что пока джентльмен В находится где-то на боковой аллее, джентльмен А «проскакивает» её начало по главной аллее. Зафиксируем этот предполагаемый момент времени t₀.

К моменту t₀ джентльмен А пройдет по парку 100k метров, k – целое число. Ввиду равенства скоростей столько же пройдёт джентльмен В. Значит, джентльмен В в момент t₀ будет находиться либо в начале, либо в конце боковой аллеи:

• Если В в начале боковой аллеи, то произошла встреча в момент t₀.
• Если В в конце боковой аллеи, то это означает, что джентльмен А может переместиться из пункта А в пункт В, пройдя 100k + 100(k – 1) = 100(2k – 1) метров по парку. Но переместиться из А в В джентльмен А может, лишь пройдя по парку 100m метров, где m – непременно чётное число.

Значит, встреча джентльменов неизбежна.

Решение от читателия Библиотеки программиста

Правильный ответ на задачу дал Тима Рейзин:

Чтоб легче было решать эту задачу, нужно нарисовать рисунок. Пускай расстоянием между джентльменами будет количество метров которые должен пройти один из них до другого по самому оптимальному пути. Тогда изначальное расстояние 1000м. Будем рассматривать моменты времени между интервалами времени за которые джентльмены проходят по 100м. Докажем что куда бы джентльмены не пошли в каждый такой момент времени расстояние между ними либо не изменится, либо уменьшится или увеличится на 200 (но оно не будет бесконечно увеличиваться). Доказательство: Если джентльмен проходит по главной аллее вперёд то за один интервал времени(ну 100м от одного ответвления до другого) расстояние меняется на -100м, если сворачивает на ответвление то на +100м. Также и второй джентльмен. Если рассмотреть все случаи(100 + 100 = 200, 100 – 100 = 0, -100 – 100 = -200) то выходит что расстояние меняется либо на 200м, либо не меняется вообще. Что и требовалось доказать. «» Если независимо от ходов джентльменов за один интервал времени расстояние меняется на 200, либо на 0 и уменьшается в общем. То в конце концов расстояние между джентльменами будет 0. А значит джентльмены встретятся в любом случае. Ответ: Да, неизбежна.