☕ Распространенные алгоритмы и структуры данных в JavaScript: графы

Если хочешь подтянуть свои знания, загляни на наш курс «Алгоритмы и структуры данных», на котором ты:

1. углубишься в решение практических задач;
2. узнаешь все про сложные алгоритмы, сортировки, сжатие данных и многое другое.

Ты также будешь на связи с преподавателем и другими студентами.

В итоге будешь браться за сложные проекты и повысишь чек за свою работу 🙂

Продолжаем изучать популярные алгоритмы и структуры данных и их реализацию на JavaScript. В предыдущей статье мы разобрались с деревьями – нелинейными иерархическими структурами. В этой копнем еще глубже и познакомимся со старшими братьями деревьев – графами.

Другие статьи цикла:

• Часть 1. Основные понятия и работа с массивами
• Часть 2. Стеки, очереди и связные списки
  
• Часть 3. Деревья
• Часть 5. Объекты и хеширование
  
• Часть 6. Полезные алгоритмы для веб-разработки
  

Количество вершин определяет порядок графа, а количество ребер – его размер.

Если две вершины графа соединены одним ребром, они называются соседними, или смежными. В графе также могут быть отдельно стоящие вершины, не связанные с другими, они называются изолированными. Количество ребер, исходящих из вершины, определяют ее степень связности.

Значение и применение структуры

Основная задача графа – отображать связи (ребра) между разными сущностями (вершины). Самый простой пример – карта метро, на которой станции являются вершинами графа, а связывающие их перегоны – ребрами.

Деревья, которые мы разбирали в предыдущей части цикла, также являются графами.

С помощью графов можно представить связи между пользователями социальной сети (подписки) или ссылки между разными страницами одного сайта (перелинковка). В таких графах ребра будут иметь направление – пользователь А подписан на пользователя Б, а не наоборот. Это ориентированные графы.

В настоящее время это очень востребованная структура данных, так как она позволяет работать с большими объемами плохо структурированной информации. На графах, например, основываются разнообразные системы рекомендаций и ранжирования контента.

Способы представления графов в JavaScript

Итак, зачем нужны графы, разобрались, но остается неясным, как их использовать. В JavaScript мы не можем просто нарисовать несколько вершин и соединить их ребрами – нужен какой-то способ представления.

Список смежности

При его составлении для ориентированного графа важно учитывать направление ребер.

Для первого (неориентированного) графа список смежности будет выглядеть так:

        const graph = {
  1: [2,4],
  2: [1,3,4],
  3: [2,4]
  4: [1,2,3]
}

    

Мы представили его в виде JavaScript-объекта с четырьмя свойствами, каждое из которых соответствует вершине графа. В качестве значений – массивы смежных вершин:

• из вершины 1 можно попасть в 2 и 4;
• из вершины 2 можно попасть в 1, 3 и 4;
• из вершины 3 можно попасть в 2 и 4;
• из вершины 4 можно попасть в 1, 2, 3.

Ориентированный граф выглядит почти так же, но список смежности у него другой:

        const graph = {
  1: [2],
  2: [3,4],
  3: [],
  4: [1,3]
}

    

Из вершины 3 не выходит ни одно ребро, поэтому из нее нельзя никуда попасть – ее массив смежных вершин пуст.

Матрица смежности

Связь определяется построчно. Первая строка соответствует вершине 1, нужно определить, есть ли путь из нее в вершины, представленные столбцами таблицы.

У неориентированного графа матрица смежности симметрична, а у ориентированного – нет.

На JavaScript граф можно представить в виде двумерного массива:

        const graph = [
  [ 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 1, 1 ],
  [ 0, 0, 0, 0 ],
  [ 1, 0, 1, 0 ],
]

    

Сравнение способов

Список смежности – более компактный способ представления графа, он требует меньше памяти и особенно удобен для "разреженных" графов, у которых немного ребер.

В то же время матрица – более наглядная и удобная структура, позволяющая быстро определить, есть ли связь между двумя вершинами. Для "плотных" графов с большим количеством ребер матрица обычно выгоднее, чем список.

Например, операция проверки наличия связи между двумя вершинами a и b в матрице занимает константное время – достаточно лишь проверить элемент graph[a][b]. В списке смежности же это будет сложнее – потребуется поиск элемента b в массиве graph[a].

Помимо списка и матрицы смежности можно использовать и более абстрактные представления, например, хранить отдельно множество вершин и отдельно множество ребер.

Реализация на JavaScript

Напишем класс для самого простого неориентированного графа с хранением данных в виде списка смежности.

        class Graph {
  constructor() {
    this.vertices = {}; // список смежности графа
  }
  
  addVertex(value) {
    if (!this.vertices[value]) {
      this.vertices[value] = [];
    }
  }
  
  addEdge(vertex1, vertex2) {
    if (!(vertex1 in this.vertices) || !(vertex2 in this.vertices)) {
      throw new Error('В графе нет таких вершин');
    }

    if (!this.vertices[vertex1].includes(vertex2)) {
      this.vertices[vertex1].push(vertex2);
    }
    if (!this.vertices[vertex2].includes(vertex1)) {
      this.vertices[vertex2].push(vertex1);
    }
  }
}

    

Основные методы графа:

• addVertex – добавление новой вершины;
• addEdge – добавление нового ребра.

Так как граф неориентированный, новое ребро является двусторонней связью, поэтому мы добавляем новые записи в списки обеих смежных вершин. Для ориентированного графа нужно лишь немного изменить метод addEdge, чтобы новая связь шла лишь в одном направлении.

Основные алгоритмы на графах

Мы разберем лишь две востребованные в программировании задачи: обход графа (в т.ч. поиск в графе) и нахождение кратчайшего пути между двумя вершинами.

• 🌌 10 анимированных алгоритмов на графах

Обход графа

Как и в случае с деревьями, у нас есть два способа обхода графов с разным порядком перебора вершин: поиск в ширину и поиск в глубину. Принципиально они не отличаются от алгоритмов обхода деревьев.

Создадим тестовый граф для демонстрации работы алгоритмов:

Перенесем его представление в JavaScript:

        const graph = new Graph();

graph.addVertex('A');
graph.addVertex('B');
graph.addVertex('C');
graph.addVertex('D');
graph.addVertex('E');
graph.addVertex('F');
graph.addVertex('G');
graph.addVertex('H');

graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'E');
graph.addEdge('A', 'F');
graph.addEdge('F', 'G');
    

Поиск в глубину (depth-first search)

Алгоритм поиска в глубину движется последовательно по ветвям графа от начала до конца.

Когда мы разбирали этот алгоритм на примере деревьев, то использовали его рекурсивную реализацию – функция поиска для одного узла вызывала сама себя для его дочерних узлов. Это, вероятно, более очевидный и понятный путь, но он может приводить к переполнению стека вызовов для больших графов. Поэтому сейчас для разнообразия мы рассмотрим итеративную реализацию поиска в глубину.

Кроме того, нужно отмечать вершины, которые уже были посещены, чтобы не перебирать их повторно. В дереве нам не требовалось делать это, но графы имеют более сложную структуру, в которой могут встречаться циклы.

Перебор может начинаться с любой вершины графа. Стартовую вершину сразу же отмечаем как посещенную и добавляем ее в стек, а дальше начинается собственно алгоритм:

1. Берем вершину с конца стека. В соответствии с описанием структуры данных стек это будет вершина, добавленная в него последней.
2. Получаем все ее смежные вершины.
3. Отбрасываем те вершины, которые уже были посещены ранее.
4. Остальные отмечаем как посещенные, добавляем в стек и возвращаемся к пункту 1.

Таким образом мы будем двигаться в глубину ветки, обрабатывая сначала "более глубокие" вершины, а когда в ней закончатся непосещенные вершины, просто перейдем к следующей ветке.

На JavaScript это может выглядеть так:

        class Graph {
  // ..

  dfs(startVertex, callback) {
    let list = this.vertices; // список смежности
    let stack = [startVertex]; // стек вершин для перебора
    let visited = { [startVertex]: 1 }; // посещенные вершины
    
    function handleVertex(vertex) {
      // вызываем коллбэк для посещенной вершины
      callback(vertex);
      
      // получаем список смежных вершин
      let reversedNeighboursList = [...list[vertex]].reverse();
     
      reversedNeighboursList.forEach(neighbour => {
        if (!visited[neighbour]) {
          // отмечаем вершину как посещенную
          visited[neighbour] = 1;
          // добавляем в стек
          stack.push(neighbour);
        }
      });
    }
    
    // перебираем вершины из стека, пока он не опустеет
    while(stack.length) {
      let activeVertex = stack.pop();
      handleVertex(activeVertex);
    }
    
    // проверка на изолированные фрагменты
    stack = Object.keys(this.vertices);

    while(stack.length) {
      let activeVertex = stack.pop();
      if (!visited[activeVertex]) {
        visited[activeVertex] = 1;
        handleVertex(activeVertex);
      }
    }
  }
}

    

Несколько важных моментов:

• Для хранения посещенных вершин мы используем не массив, а объект, так как наличие свойства в объекте проверить проще, чем наличие элемента в массиве.
• При добавлении смежных вершин в стек, мы используем метод reverse, то есть добавляем их в обратном порядке. Это нужно для того, чтобы перебор веток происходил в том же порядке, в котором они были добавлены.
• После того, как стек опустел, мы дополнительно проверяем все вершины графа на предмет посещенности. Это необходимо, так как в графе могут быть изолированные вершины или подграфы, например, в нашем тестовом графе такая вершина есть. Непосещенные вершины обрабатываем. Если в графе нет изолированных фрагментов, то эту часть можно опустить.

Запустим этот метод для нашего тестового графа:

        graph.dfs('A', v => console.log(v));

    

Порядок перебора вершин:

        A -> B -> C -> D -> E -> F -> G -> H
    

Поиск в глубину напоминает поиск пути в лабиринте, алгоритм идет по ветке, пока не упрется в "стену", после этого он возвращается назад.

Поиск в ширину (breadth-first-search)

Алгоритм поиска в ширину сначала перебирает все смежные вершины, затем смежные вершины смежных вершин и так далее по уровням.

Первый узел, в которого начинается обход, отмечается как посещенный и помещается в очередь. Далее совершаем следующие действия:

1. Берем вершину с начала очереди. В соответствии с описанием структуры данных очередь это будет вершина, добавленная в нее самой первой.
2. Получаем все ее смежные вершины.
3. Отбрасываем те вершины, которые уже были посещены ранее.
4. Остальные отмечаем как посещенные, добавляем в стек и возвращаемся к пункту 1.

Обратите внимание, алгоритм абсолютно такой же, как и алгоритм поиска в глубину – разница только в порядке извлечения узлов. Вот так выбор простейшей структуры данных (стека или очереди) влияет на результат выполнения задачи.

На JavaScript поиск в ширину выглядит примерно так:

        class Graph {
  // ..

  bfs(startVertex, callback) {
    let list = this.vertices; // список смежности
    let queue = [startVertex]; // очередь вершин для перебора
    let visited = { [startVertex]: 1 }; // посещенные вершины
    
    function handleVertex(vertex) {
      // вызываем коллбэк для посещенной вершины
      callback(vertex);
      
      // получаем список смежных вершин
      let neighboursList = list[vertex];
      
      neighboursList.forEach(neighbour => {
        if (!visited[neighbour]) {
          visited[neighbour] = 1;
          queue.push(neighbour);
        }
      });
    }
        
    // перебираем вершины из очереди, пока она не опустеет
    while(queue.length) {
      let activeVertex = queue.shift();
      handleVertex(activeVertex);
    }
    
    queue = Object.keys(this.vertices);

    // Повторяем цикл для незатронутых вершин
    while(queue.length) {
      let activeVertex = queue.shift();
      if (!visited[activeVertex]) {
        visited[activeVertex] = 1;
        handleVertex(activeVertex);
      }
    }
  }
}

    

В этой реализации мы не переворачиваем массив смежных вершин, так как из очереди они и так будут извлекаться в правильном порядке.

После перебора основного дерева обязательно повторяем процедуру для всех изолированных вершин.

Запустим этот метод для нашего тестового графа:

        graph.bfs('A', v => console.log(v));
    

Порядок перебора вершин:

        A -> B -> C -> F -> D -> E -> G -> H
    

Рисунок поиска в ширину напоминает круги на воде – сначала исследуются вершины в границах маленького круга, затем он увеличивается.

Поиск кратчайшего пути

Одной из базовых задач при работе с графами является определение кратчайшего пути между двумя вершинами. Такие алгоритмы очень востребованы, например, в картографических сервисах (Google maps) для прокладывания маршрута между двумя точками.

Вариантов постановки этой задачи очень много, мы начнем с самого простого.

Представьте, что вам требуется построить маршрут, проходящий через наименьшее количество станций или населенных пунктов.

Например, в этом графе из точки A в точку G можно попасть тремя разными способами. Как выяснить, какой из них самый быстрый?

Сначала создадим JavaScript-представление этой структуры:

        let graph = new Graph();
graph.addVertex('A');
graph.addVertex('B');
graph.addVertex('C');
graph.addVertex('D');
graph.addVertex('E');
graph.addVertex('F');
graph.addVertex('G');
graph.addVertex('H');

graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('F', 'G');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('D', 'F');
graph.addEdge('C', 'E');
graph.addEdge('E', 'F');
    

Для решения нашей задачи подойдет уже знакомый нам алгоритм поиска в ширину с некоторыми модификациями.

Необходимо по ходу работы алгоритма сохранять дополнительную информацию, чтобы затем восстановить путь из исходной вершины в искомую. Мы будем сохранять расстояние каждой вершины от исходной, а также для каждой вершины – предыдущую вершину, из которой мы пришли.

        class Graph {
  // ..

  bfs2(startVertex) {
    let list = this.vertices; 
    let queue = [startVertex];
    let visited = { [startVertex]: 1 }; 
    
    // кратчайшее расстояние от стартовой вершины
    let distance = { [startVertex]: 0 }; 
    // предыдущая вершина в цепочке
    let previous = { [startVertex]: null };

    function handleVertex(vertex) {
      let neighboursList = list[vertex];

      neighboursList.forEach(neighbour => {
        if (!visited[neighbour]) {
          visited[neighbour] = 1;
          queue.push(neighbour);
          // сохраняем предыдущую вершину
          previous[neighbour] = vertex;
          // сохраняем расстояние 
          distance[neighbour] = distance[vertex] + 1;
        }
      });
    }

    // перебираем вершины из очереди, пока она не опустеет
    while(queue.length) {
      let activeVertex = queue.shift();
      handleVertex(activeVertex);
    }
    
    return { distance, previous }
  }
}
    

Обработка изолированных фрагментов графа здесь не требуется. Между изолированными подграфами пути нет, ни кратчайшего, ни какого-либо другого, мы и так это увидим.

Опробуем обновленный алгоритм:

        let data = graph.bfs2('A');

/*
{
  distance: {
    A: 0,
    B: 1,
    C: 1,
    D: 2,
    E: 2,
    F: 2,
    G: 3
  },
  previous: {
    A: null,
    B:'A',
    C:'A',
    D:'C',
    E: 'C',
    F:'B',
    G: 'F'
  },
}
*/

    

В свойстве distance хранятся кратчайшие расстояния от вершины А до всех остальных вершин графа. Выходит, что до вершины G можно добраться всего за три шага. А восстановить этот путь поможет свойство previous, которое хранит всю цепочку шагов:

        class Graph {
   // ...

   findShortestPath(startVertex, finishVertex) {
    let result = this.bfs2(startVertex);

    if (!(finishVertex in result.previous)) 
        throw new Error(`Нет пути из вершины ${startVertex} в вершину ${finishVertex}`);
        
    let path = [];
    
    let currentVertex = finishVertex;
    
    while(currentVertex !== startVertex) {
      path.unshift(currentVertex);
      currentVertex = result.previous[currentVertex];
    }
    
    path.unshift(startVertex);
    
    return path;
  }
}
    

Запустим алгоритм поиска:

        graph.findShortestPath('A', 'G'); // ['A', 'B', 'F', 'G']
graph.findShortestPath('A', 'Z'); // Error: Нет пути из вершины A в вершину Z
    

Взвешенные графы

Зачастую нам интересен не только факт наличия связи между двумя сущностями (смежность вершин, наличие ребра между ними), но и некоторые характеристики этой связи.

Для примера возьмем карту метро. Перегоны между станциями отличаются расстоянием.

В этом графе каждому ребру (перегон) соответствует число, равное времени в пути в минутах между смежными станциями. Это число называют весом ребра, а сам граф взвешенным.

Представление взвешенного графа

Для взвешенного графа необходимо хранить не только факт связи, но и вес ребра, соединяющего две вершины.

Попробуем перенести в JavaScript вот такой граф:

Если мы используем матрицу смежности, то веса можно подставлять вместо единиц и нулей (наличие или отсутствие связи).

В списках смежности нужно поставить в соответствие каждой смежной вершине вес ребра, ведущего к ней. Для этого мы можем использовать, например, вложенные массивы:

        let graph = {
  a: [ [b, 2], [c, 1] ],
  b: [ [f, 7] ],
  c: [ [d, 5], [e, 2] ],
  d: [ [f, 2] ],
  e: [ [f, 1] ],
  f: [ [g, 1] ],
  g: [ ]
}

    

Первым элементом в массиве идет сама смежная вершина, вторым – длина пути до нее (вес ребра).

Или можно представить то же самое с помощью объектов JavaScript:

        let graph = {
  a: { b: 2, c: 1 },
  b: { f: 7 },
  c: { d: 5, e: 2 },
  d: { f: 2 },
  e: { f: 1 },
  f: { g: 1 },
  g: { },
}

    

Дальше мы будем использовать именно такое представление.

Кратчайший путь во взвешенном графе

Задача поиска кратчайшего пути во взвешенном графе встречается еще чаще, чем в невзвешенном. Например, для построения самого быстрого маршрута между двумя станциями метро или для сетевых протоколов маршрутизации. И здесь все намного интереснее. Мы не можем полагаться на количество ребер между вершинами, а значит, поиск в ширину нам не поможет.

Для поиска кратчайшего пути во взвешенных графах существует множество алгоритмов. Некоторые из них могут работать даже с отрицательными весами. Мы рассмотрим один из самых популярных.

Алгоритм Дейкстры

Он похож на поиск в ширину – мы начинаем со стартовой вершины и перебираем ее смежные вершины. На каждом шаге мы рассчитываем все возможные пути до вершины и выбираем среди них самый короткий.

Изначально полагается, что путь до каждой вершины неизвестен и равен бесконечности, кроме пути до стартовой вершины, который равен нулю.

На каждом шаге выбирается самая близкая из известных вершин. На первом шаге это стартовая вершина, так как о других мы просто ничего не знаем.

Для выбранной вершины мы можем получить ее смежные вершины и расстояния до них (вес ребер). А зная расстояние от стартовой вершины до текущей и расстояния от текущей вершины до ее смежных вершин, мы можем рассчитать и расстояния от стартовой вершины до смежных.

Текущая вершина отмечается как посещенная и в дальнейших манипуляциях не участвует.

Затем все действия повторяются: мы выбираем самую близкую из известных вершин, не считая посещенных. Теперь известных вершин стало больше, поэтому есть из чего выбирать. Находим смежные вершины и обновляем расстояния до них.

Если расстояние для какой-то вершины уже было определено на предыдущих шагах, мы должны сравнить его с новым и выбрать минимальное.

Чтобы восстановить кратчайший путь до нужной вершины, мы дополнительно должны сохранять предыдущую вершину в этом пути, как мы уже делали для невзвешенного графа.

Реализация алгоритма Дейкстры на JavaScript

Для реализации алгоритма Дейкстры на потребуется вспомогательная функция для поиска ближайшей вершины из известных:

        function findNearestVertex(distances, visited) {
  let minDistance = Infinity;
  let nearestVertex = null;

  Object.keys(distances).forEach(vertex => {
    if (!visited[vertex] && distances[vertex] < minDistance) {
      minDistance = distances[vertex];
      nearestVertex = vertex;
    }
  });

  return nearestVertex;
}

    

Она принимает объект distances, в котором каждой вершине соответствует известное на данный момент расстояние, и объект visited, в котором отмечены посещенные вершины.

Сам алгоритм выглядит так:

        function dijkstra(graph, startVertex) {
  let visited = {};
  let distances = {}; // кратчайшие пути из стартовой вершины
  let previous = {}; // предыдущие вершины
    
  let vertices = Object.keys(graph); // список вершин графа
  
  // по умолчанию все расстояния неизвестны (бесконечны)
  vertices.forEach(vertex => {
    distances[vertex] = Infinity;
    previous[vertex] = null;
  });

  // расстояние до стартовой вершины равно 0
  distances[startVertex] = 0;

  function handleVertex(vertex) {
    // расстояние до вершины
    let activeVertexDistance = distances[vertex]; 
    
    // смежные вершины (с расстоянием до них)
    let neighbours = graph[activeVertex];
    
    // для всех смежных вершин пересчитать расстояния
    Object.keys(neighbours).forEach(neighbourVertex => {
      // известное на данный момент расстояние
      let currentNeighbourDistance = distances[neighbourVertex];
      // вычисленное расстояние
      let newNeighbourDistance = activeVertexDistance + neighbours[neighbourVertex];
      
      if (newNeighbourDistance < currentNeighbourDistance) {
        distances[neighbourVertex] = newNeighbourDistance;
        previous[neighbourVertex] = vertex;
      }
    });
    
    // пометить вершину как посещенную
    visited[vertex] = 1;
  }
  
  // ищем самую близкую вершину из необработанных
  let activeVertex = findNearestVertex(distances, visited);

  // продолжаем цикл, пока остаются необработанные вершины 
  while(activeVertex) {
    handleVertex(activeVertex);
    activeVertex = findNearestVertex(distances, visited);
  }
  
  return { distances, previous };
}
    

Запустим алгоритм для нашего взвешенного графа:

        dijkstra(graph, 'a');

/*
{
  distances: {
    a: 0,
    b: 2,
    c: 1,
    d: 6,
    e: 3,
    f: 4,
    g: 5
  },
  previuos: {
    a: null,
    b: 'a',
    c: 'a',
    d: 'c',
    e: 'c',
    f: 'e',
    g: 'f',
  }
}   
*/
    

Кратчайший путь от A до G составляет 5 и проходит через вершины ACEFG (Алгоритм восстановления пути по объекту previous рассмотрен выше).

Заключение

В современном информационном мире графы – одна из важнейших структур данных, которая позволяет отобразить связи между объектами. Одновременно это одна из самых сложных структур. Существует множество разновидностей графов: кроме взвешенных и ориентированных графов, с которыми мы познакомились, существуют, например, псевдографы (графы, в структуре которых содержатся петли). Соответственно, существует и множество алгоритмов, работающих с графами.

Мы разобрали практически все популярные структуры данных, которые могут пригодиться JavaScript-разработчику в работе или на собеседовании: массивы, связные списки, стеки и очереди, а также деревья и графы.

В следующей статье цикла мы поговорим про еще одну очень важную структуру – хеш-таблицу.