Рекурсивная функция – это функция, которая вызывает сама себя, и при каждом очередном вызове использует данные, созданные во время предыдущего вызова. В программировании есть ряд задач, которые проще (но не всегда эффективнее) решаются с помощью рекурсии. Написание рекурсивных функций часто ставит начинающих программистов в тупик. Чтобы разобраться в принципе работы рекурсивных функций, нужно понять (в самых общих чертах) концепцию стека вызовов.
Стек – это структура
данных LIFO (last in, first out): информация
последовательно добавляется в «стопку» , каждый новый объект помещается поверх
предыдущего, а извлекаются объекты в обратном порядке, – начиная с верхнего.
Работу стека отлично иллюстрирует добавление данных в список с помощью append и извлечение
информации посредством pop:
stack = []
for i in range(1, 11):
stack.append(f'{i}-й элемент')
print(f'+ {i}-й элемент добавлен')
for i in stack:
print(i, end=" ")
print('\n')
for i in range(len(stack)):
print('В стеке: ', end=" ")
for i in stack:
print(i, end=" ")
print(f'\n{stack.pop()} удален из стека')
Вывод:
+ 1-й элемент добавлен
1-й элемент + 2-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент + 3-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент + 4-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент + 5-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент + 6-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент + 7-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент + 8-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент 8-й элемент + 9-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент 8-й элемент 9-й элемент + 10-й элемент добавлен
1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент 8-й элемент 9-й элемент 10-й элемент
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент 8-й элемент 9-й элемент 10-й элемент
10-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент 8-й элемент 9-й элемент
9-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент 8-й элемент
8-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент 7-й элемент
7-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент 6-й элемент
6-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент 5-й элемент
5-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент 4-й элемент
4-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент 3-й элемент
3-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент 2-й элемент
2-й элемент удален из стека
В стеке: 1-й элемент
1-й элемент удален из стека
Стек вызовов, в свою очередь, – это область памяти, в которой выполняются функции. При каждом вызове функции создается фрейм – фрагмент памяти, – в котором содержится:
- информация о текущем состоянии выполнения функции;
- значения всех переменных, которые функция получила для обработки;
- локальные данные, созданные во время очередного вызова;
- сведения о строке программы, к которой нужно вернуться после выполнения функции.
Фреймы помещаются в стек вызовов, как уже было показано в примере выше, и удаляются точно так же, сверху вниз. Рекурсивные функции при каждом новом вызове используют данные, созданные во время работы предыдущего вызова.
Программисту не нужно беспокоиться о работе стека вызовов – созданием фреймов и управлением стеком занимается интерпретатор. Однако понимание принципа работы стека вызовов значительно упрощает создание рекурсивных функций. Неверное же использование рекурсии приводит к переполнению стека (stack overflow). Популярный сайт StackOverflow назван как раз в честь этой ошибки.
Переполнить стек в опытных целях можно с помощью простейшей рекурсивной функции, которая бесконечно вызывает сама себя, но не возвращает никаких данных и не содержит никакого условия для прекращения своей работы:
def recursive():
recursive()
recursive()
Интерпретатор Python автоматически отслеживает переполнение стека и после 1000 бесплодных вызовов завершает работу подобных функций с ошибкой:
shortest()
RecursionError: maximum recursion depth exceeded
При желании лимит на глубину рекурсии можно увеличить, но сделать его бесконечным, разумеется, нельзя – даже самый внушительный объем оперативной памяти в итоге окажется переполненным:
from sys import getrecursionlimit
from sys import setrecursionlimit
print(getrecursionlimit()) # выводит лимит по умолчанию
setrecursionlimit(2000) # увеличивает лимит до 2000 вызовов
print(getrecursionlimit())# выводит новый лимит
#Вывод:
1000
2000
Чтобы стек вызовов не переполнялся, в каждой рекурсивной функции всегда должны быть предусмотрены два случая:
- Граничный, при котором функция завершает работу и возвращает данные в основную программу.
- Рекурсивный, при котором функция продолжает вызывать себя.
Вот пример простейшей рекурсивной функции, в которой учтены оба случая:
def greetings(st):
print(st)
if len(st) == 0: # Граничный случай
return
else: # Рекурсивный случай
greetings(st[:-1])
greetings('Hello, world!')
Вызовы функции прекращаются, когда длина выводимой подстроки достигает 0:
Hello, world!
Hello, world
Hello, worl
Hello, wor
Hello, wo
Hello, w
Hello,
Hello,
Hello
Hell
Hel
He
H
Эту же функцию можно переписать так, чтобы одно и то же условие проверяло и граничный, и рекурсивный случаи сразу:
def greetings(st):
print(st)
if len(st) > 0:
greetings(st[:-1])
greetings('Hello world!')
И в первом, и во втором варианте рекурсивный случай многократно передает в функцию greetings() подстроку, длина которой уменьшается с каждым вызовом, пока не станет равной 0.
Скорость выполнения: итерация vs рекурсия
Рекурсивные функции работают медленнее обычных, поэтому их
стоит применять только тогда, когда решить задачу без рекурсии сложно. Вот
сравнение времени выполнения двух функций, рекурсивной fib_recursive(n)
и обычной fib_iter(n), решающих одну и ту же задачу –
вычисление последовательности Фибоначчи:
from timeit import timeit
def fib_iter(n):
if n == 1:
return [1]
if n == 2:
return [1, 1]
fibs = [1, 1]
for _ in range(2, n):
fibs.append(fibs[-1] + fibs[-2])
return fibs
setup_code_iter = 'from __main__ import fib_iter'
stmt_iter = 'fib_iter(15)'
print('Время выполнения итеративной функции: ', timeit(setup=setup_code_iter, stmt=stmt_iter, number=20000))
def fib_recursive(n):
if(n <= 1):
return n
else:
return(fib_recursive(n-1) + fib_recursive(n-2))
setup_code_rec = 'from __main__ import fib_recursive'
stmt_rec = 'fib_recursive(15)'
print('Время выполнения рекурсивной функции: ', timeit(setup=setup_code_rec, stmt=stmt_rec, number=20000))
Результат для n = 15:
Время выполнения итеративной функции: 0.034556168131530285
Время выполнения рекурсивной функции: 4.069674882106483
В приведенном выше примере в обычной функции используется цикл for. Цикл выполняет итерацию (перебор), причем справляется с задачей гораздо быстрее, чем рекурсивная функция, поскольку рекурсия совершает множество повторных вызовов, и с увеличением числа элементов последовательности количество повторов растет лавинообразно:
Итерацию можно назвать противоположностью рекурсии. Всегда, когда задачу можно решить итерацией (либо итерацией с использованием стека), следует делать выбор в пользу цикла for или while вместо рекурсии.
Мемоизация
Если применение рекурсии при решении задачи неизбежно, есть
простой способ ускорить выполнение функции – для этого используют декоратор
@lru_cache() модуля functools. Сравним скорость выполнения рекурсивного кода
при решении следующей олимпиадной задачи.
Задача: лесенка представляет собой набор кубиков. В этом наборе каждый последующий ряд состоит из меньшего числа кубиков, чем предыдущий. Надо написать программу для вычисления количества лесенок, которое можно построить из n кубиков.
В решении используется рекурсивная функция, выполнение которой в интерпретаторе Python занимает столько времени, что готовое решение никогда не будет соответствовать строгим олимпиадным критериям. Для кэширования промежуточных результатов можно написать функцию мемоизации самостоятельно, а можно воспользоваться готовым, уже упомянутым выше декоратором. Сравним скорость выполнения решений с мемоизацией и без:
from timeit import timeit
def kol_les_no_mem(n, k):
if n == 0:
return 1
ans = 0
for i in range(k + 1, n + 1):
ans += kol_les_no_mem(n - i, i)
return ans
setup_code_no_mem = 'from __main__ import kol_les_no_mem'
stmt_no_mem = 'kol_les_no_mem(25, 0)'
print('Время выполнения без мемоизации: ', timeit(setup=setup_code_no_mem, stmt=stmt_no_mem, number=20000))
setup_code_mem = '''
import functools
@functools.lru_cache(maxsize=None)
def kol_les_mem(n, k):
if n == 0:
return 1
ans = 0
for i in range(k + 1, n + 1):
ans += kol_les_mem(n - i, i)
return ans
'''
stmt_mem = 'kol_les_mem(25, 0)'
print('Время выполнения с мемоизацией: ', timeit(setup=setup_code_mem, stmt=stmt_mem, number=20000))
Результат теста:
Время выполнения без мемоизации: 9.019254605285823
Время выполнения с мемоизацией: 0.0023915572091937065
Практика
Задание 1
Напишите функцию для вычисления факториала числа. Решите задачу двумя способами – итеративным и рекурсивным.
Примечание для рекурсивного решения: предположим, нам нужно вычислить 5! Факториал 5 равен: 5 х 4 х 3 х 2 х 1. Факториал 4: 4 х 3 х 2 х 1, факториал 3: 3 х 2 х 1, факториал 2: 2 х 1, и факториал 1 равен 1. Очевидно, что 5! = 5 x 4!, 4! = 4 x 3!, 3! = 3 x 2! и так далее до граничного случая 1! = 1, то есть каждый последующий факториал включает в себя определение предыдущего.
Пример ввода:
12
Вывод:
479001600
Решение 1 – итеративное:
def fact_iter(n):
factorial = 1
for i in range(1, n + 1):
factorial *= i
return factorial
print(fact_iter(int(input())))
Решение 2 – рекурсивное:
def fact_recursive(n):
if n == 1: # граничный случай
return 1
else: # рекурсивный случай
return n * fact_recursive(n - 1)
print(fact_recursive(int(input())))
Задание 2
Напишите программу для возведения числа n в степень m. Решите задачу двумя способами – итеративным и рекурсивным.
Примечание для рекурсивного решения: предположим, что нужно возвести число 5 в степень 6. Свойства степени позволяют разбить процесс на более мелкие операции и представить выражение 5 ** 6 в виде (5 ** 3) ** 2. Этот подход работает в том случае, если степень представляет собой четное число. Если степень нечетная, следует воспользоваться другим свойством: (n ** m) x n = n ** (m + 1). Поскольку может ввести как четное, так и нечетное значение m, в функции должны быть два рекурсивных случая. В качестве граничного случая используется еще одно свойство степени: n ** 1 = n.
Пример ввода:
12
8
Вывод:
429981696
Решение 1 – итеративное:
def pow_iter(n, m):
res = 1
for i in range(m):
res *= n
return res
n, m = int(input()), int(input())
print(pow_iter(n, m))
Решение 2 – рекурсивное:
def pow_recursive(n, m):
if m == 1: # граничный случай
return n
elif m % 2 == 0: # четный рекурсивный случай
res = pow_recursive(n, m // 2)
return res * res
else: # нечетный рекурсивный случай
res = pow_recursive(n, m // 2)
return res * res * n
n, m = int(input()), int(input())
print(pow_recursive(n, m))
Задание 3
Напишите программу для нахождения n-го гармонического числа. Решите задачу итеративным и рекурсивным способами.
Пример ввода:
7
Вывод:
2.5928571428571425
Решение 1 – итеративное:
def nth_harmonic_iter(n):
harmonic = 1.0
for i in range(2, n + 1):
harmonic += 1 / i
return harmonic
print(round(nth_harmonic_iter(int(input())), 5))
Решение 2 – рекурсивное:
def nth_harmonic_rec(n):
if n == 1: #граничный случай
return 1
else: #рекурсивный случай
return 1 / n + nth_harmonic_rec(n - 1)
print(round(nth_harmonic_rec(int(input())), 5))
Задание 4
Напишите итеративную и рекурсивную функции для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии:
Пример ввода:
9
Вывод:
1.99609375
Решение 1 – итеративное:
def geometric_iter(n):
res = 0
for i in range(n):
res += 1 / 2 ** i
return res
print(geometric_iter(int(input())))
Решение 2 – рекурсивное:
def geometric_rec(n):
if n < 0: # граничный случай
return 0
else: # рекурсивный случай
return 1 / 2 ** n + geometric_rec(n - 1)
print(geometric_rec(int(input())))
Примечание: если знаменатель не равен 1, задачу можно решить с помощью формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии:
b, q, n = 1, 0.5, int(input())
print(b * (1 - q ** n) / (1 - q))
Задание 5
Напишите рекурсивную и итеративную функции для вычисления наибольшего общего делителя чисел a и b.
Пример ввода:
45
123
Вывод:
3
Решение 1 – рекурсивное:
def gcd_recursive(a, b):
min_num = min(a, b)
max_num = max(a, b)
if min_num == 0: #граничный случай, когда одно из чисел равно 0
return max_num
elif min_num == 1: #граничный случай, когда одно из чисел равно 1
return 1
else: #рекурсивный случай, когда ни одно из чисел не равно ни 1, ни 0
return gcd_recursive(min_num, max_num % min_num)
a, b = int(input()), int(input())
print(gcd_recursive(a, b))
Решение 2 – итеративное:
def gcd_iter(a, b):
while a != b:
if a > b:
a -= b
else:
b -= a
return b
a, b = int(input()), int(input())
print(gcd_iter(a, b))
Примечание: задачу можно решить с помощью math.gcd():
import math
a, b = int(input()), int(input())
print(math.gcd(a, b))
Задание 6
Напишите итеративную и рекурсивную функции для вычисления последовательности n + (n – 2) + (n – 4)... (n – x =< 0), где n – натуральное четное число.
Пример ввода:
120
Вывод:
3660
Решение 1 – итеративное:
def sum_iter(n):
summa = 0
k = 0
while n - k > 0:
summa += n - k
k += 2
return summa
print(sum_iter(int(input())))
Решение 2 – рекурсивное:
def sum_recursive(n):
if n < 1: # граничный случай
return 0
else: # рекурсивный случай
return n + sum_recursive(n - 2)
print(sum_recursive(int(input())))
Задание 7
Напишите рекурсивную функцию, которая определяет, является ли введенная пользователем строка палиндромом.
Пример ввода:
Лёша на полке клопа нашёл
Вывод:
True
Решение:
def palindrome(my_str):
if len(my_str) == 0 or len(my_str) == 1: # граничный случай
return True
else: # рекурсивный случай
head = my_str[0]
middle = my_str[1:-1]
end = my_str[-1]
return head == end and palindrome(middle)
st = [i.lower() for i in input() if i.isalpha()]
print((palindrome(st)))
Без рекурсии задачу можно решить так:
st = [i.lower() for i in input() if i.isalpha()]
print(st == st[::-1])
Задание 8
Напишите рекурсивную функцию для поиска имени, состоящего ровно из 9 букв. Структура родословной, в которой хранятся данные об именах, имеет древовидную форму:
Вывод:
Посещаем узел Анна...
Проверяем, состоит ли имя Анна из 9 букв...
Посещаем узел Егор...
Проверяем, состоит ли имя Егор из 9 букв...
Посещаем узел Мария...
Проверяем, состоит ли имя Мария из 9 букв...
Посещаем узел Светлана...
Проверяем, состоит ли имя Светлана из 9 букв...
Посещаем узел Инга...
Проверяем, состоит ли имя Инга из 9 букв...
Посещаем узел Елизавета...
Проверяем, состоит ли имя Елизавета из 9 букв...
Имя из 9 букв: Елизавета
Решение:
root = {'name': 'Анна', 'children': [{'name': 'Егор', 'children':
[{'name': 'Мария', 'children': []}]}, {'name': 'Светлана',
'children': [{'name': 'Инга', 'children': [{'name': 'Елизавета',
'children': []}, {'name': 'Антон', 'children': []}]}, {'name': 'Марина', 'children': []}]}]}
def find_name(node):
print(f"Посещаем узел {node['name']}...")
print(f"Проверяем, состоит ли имя {node['name']} из 9 букв...")
if len(node['name']) == 9:
return node['name'] # граничный случай
if len(node['children']) > 0: # рекурсивный случай
for child in node['children']:
returnValue = find_name(child)
if returnValue != 'не найдено':
return returnValue
return 'не найдено' # граничный случай - имен из 9 букв нет
print(f"Имя из 9 букв: {find_name(root)}")
Примечание: без рекурсии такую задачу можно решить с помощью ООП:
class Node:
def __init__(self, data=None, left=None, right=None):
self.data = data
self.left = left
self.right = right
def traverse(root):
if root is None:
return
traverse(root.left)
if len(root.data) == 9:
print(f'Имя найдено: {root.data}')
return
traverse(root.right)
if len(root.data) == 9:
print(f'Имя найдено: {root.data}')
return
if __name__ == '__main__':
root = Node('Анна')
root.left = Node('Егор')
root.right = Node('Светлана')
root.left.left = Node('Мария')
root.right.left = Node('Инга')
root.right.right = Node('Марина')
root.right.left.left = Node('Елизавета')
root.right.left.right = Node('Антон')
traverse(root)
Задание 9
Имеется многомерный вложенный список:
sp = [[[5, 7, 2], [4, 9, 5]], [[2, 5, 4]], [[3, 2, 1], [[5], [9, 5]]],
[4, 3, 1, 2], [[4, 7, 2], [6, 4]], [[[4, 1, 6], [3, 8]], [4, 5]],
[9, 1], [3, 1], [[5, 6], [[4, 2, 1], [2, 5], [[6, 8, 2, 3, 4]]]],
[5, 3, 2], [2, [1], 4], [2, 5, [4, 3, 1], 6, 7, [9, 0, 5, 2, 4]],
[7, 3, [4]], [4, 2, [[[5, 6, 7], 5, 7]], 1], [3, 4, 6, [6, 4, 5]],
]
Напишите рекурсивную и итеративную функции для преобразования списка в одномерный.
Ожидаемый результат:
[5, 7, 2, 4, 9, 5, 2, 5, 4, 3, 2, 1, 5, 9, 5, 4, 3, 1, 2, 4, 7, 2, 6, 4, 4, 1, 6, 3, 8, 4, 5, 9, 1, 3, 1, 5, 6, 4, 2, 1, 2, 5, 6, 8, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 5, 4, 3, 1, 6, 7, 9, 0, 5, 2, 4, 7, 3, 4, 4, 2, 5, 6, 7, 5, 7, 1, 3, 4, 6, 6, 4, 5]
Решение 1 – рекурсивное:
def flat_list_recur(lst):
if lst == []:
return lst
if isinstance(lst[0], list):
return flat_list_recur(lst[0]) + flat_list_recur(lst[1:])
return lst[:1] + flat_list_recur(lst[1:])
sp = [[[5, 7, 2], [4, 9, 5]], [[2, 5, 4]], [[3, 2, 1], [[5], [9, 5]]],
[4, 3, 1, 2], [[4, 7, 2], [6, 4]], [[[4, 1, 6], [3, 8]], [4, 5]],
[9, 1], [3, 1], [[5, 6], [[4, 2, 1], [2, 5], [[6, 8, 2, 3, 4]]]],
[5, 3, 2], [2, [1], 4], [2, 5, [4, 3, 1], 6, 7, [9, 0, 5, 2, 4]],
[7, 3, [4]], [4, 2, [[[5, 6, 7], 5, 7]], 1], [3, 4, 6, [6, 4, 5]],
]
print(flat_list_recur(sp))
Решение 2 – итеративное:
def flat_list_iter(lst):
result = []
stack = [lst]
while stack:
current = stack.pop(-1)
if isinstance(current, list):
stack.extend(current)
else:
result.append(current)
result.reverse()
return result
sp = [[[5, 7, 2], [4, 9, 5]], [[2, 5, 4]], [[3, 2, 1], [[5], [9, 5]]],
[4, 3, 1, 2], [[4, 7, 2], [6, 4]], [[[4, 1, 6], [3, 8]], [4, 5]],
[9, 1], [3, 1], [[5, 6], [[4, 2, 1], [2, 5], [[6, 8, 2, 3, 4]]]],
[5, 3, 2], [2, [1], 4], [2, 5, [4, 3, 1], 6, 7, [9, 0, 5, 2, 4]],
[7, 3, [4]], [4, 2, [[[5, 6, 7], 5, 7]], 1], [3, 4, 6, [6, 4, 5]],
]
print(flat_list_iter(sp))
Задание 10
Реализуйте алгоритм бинарного поиска с помощью итеративной и рекурсивной функций. Число задается с помощью randrange(2000), в списке хранятся числа от 1 до 1000, т.е. не во всех случаях заданное число будет присутствовать в списке.
Пример вывода:
Число найдено: 787
Решение 1 – рекурсивное:
from random import randrange
def binary_recursive(lst, start, end, num):
if end >= start:
mid = (end + start) // 2
if lst[mid] == num: # граничный случай - элемент находится посередине
return mid
elif lst[mid] > num: # рекурсивный случай - элемент находится слева
return binary_recursive(lst, start, mid - 1, num)
else: # рекурсивный случай - элемент находится справа
return binary_recursive(lst, mid + 1, end, num)
else: # граничный случай - элемент в списке не обнаружен
return 'не найдено'
sp = [i for i in range(1001)]
n = randrange(2000)
result = binary_recursive(sp, 0, len(sp)-1, n)
if result != 'не найдено':
print(f'Число найдено: {result}')
else:
print('Такого числа нет в списке')
Решение 2 – итеративное:
from random import randrange
def binary_iter(lst, num):
start, end, mid = 0, len(lst) - 1, 0
while start <= end:
mid = (end + start) // 2
if lst[mid] < num:
start = mid + 1
elif lst[mid] > num:
end = mid - 1
else:
return mid
return 'не найдено'
sp = [i for i in range(1001)]
n = randrange(2000)
result = binary_iter(sp, n)
if result != 'не найдено':
print(f'Число найдено: {result}')
else:
print('Такого числа нет в списке')
Подведем итоги
Рекурсию стоит применять для решения задач, в которых:
- Используется древовидная структура данных.
- Нужно предусмотреть возврат к предыдущей отправной точке (например, при поиске выхода из лабиринта).
- Глубина рекурсивных вызовов находится в пределах разумного и не приведет к переполнению стека.
Во всех остальных случаях целесообразнее использовать итерацию либо итерацию и стек.
В следующей главе будем изучать функции высшего порядка и замыкания.
Содержание самоучителя
- Особенности, сферы применения, установка, онлайн IDE
- Все, что нужно для изучения Python с нуля – книги, сайты, каналы и курсы
- Типы данных: преобразование и базовые операции
- Методы работы со строками
- Методы работы со списками и списковыми включениями
- Методы работы со словарями и генераторами словарей
- Методы работы с кортежами
- Методы работы со множествами
- Особенности цикла for
- Условный цикл while
- Функции с позиционными и именованными аргументами
- Анонимные функции
- Рекурсивные функции
- Функции высшего порядка, замыкания и декораторы
- Методы работы с файлами и файловой системой
- Регулярные выражения
- Основы скрапинга и парсинга
- Основы ООП: инкапсуляция и наследование
- Основы ООП – абстракция и полиморфизм
- Графический интерфейс на Tkinter
- Основы разработки игр на Pygame
- Основы работы с SQLite
- Основы веб-разработки на Flask
- Основы работы с NumPy
- Основы анализа данных с Pandas
Комментарии